Historia y a aplicaciones de la derivada en las ciencias económicas: Microeconomia
En el presente Blog ,se muestra un breve recorrido histórico general de la derivada para luego hablar de manera específica de los inicios y desarrollo del cálculo diferencial dentro de las ciencias económicas, mejor conocido como análisis marginal.
Como es bien sabido, las matemáticas forman parte de los curricula de estudios de casi todas las carreras universitarias a nivel mundial. Dentro de las matemáticas, el cálculo diferencial juega un papel fundamental.
En este caso, se abordarán algunos aspectos del cálculo diferencial y su
relación con las ciencias económicas desde la evolución de la derivada en un contexto general hasta su uso en la economía, y se finalizará con algunas aplicaciones de la derivada con un enfoque didáctico en carreras
universitarias vinculadas a la economía. El hecho de hablar de la derivada conduce al campo del análisis matemático debido a que éste abarca temas que van desde los números reales y sus propiedades, y pasando por el estudio de las funciones (de una y varias variables), límites y continuidad, derivación, integración, sucesiones y series, teoría de la medida, hasta el álgebra lineal, análisis funcional y análisis complejo, entre otros.
1. El concepto de derivada y su evolución histórica:
En los programas de cálculo para carreras de economía y afines está contemplado enseñar el concepto de la derivada de una función, f, solamente desde el punto de vista de la interpretación geométrica y de la razón de cambio, aunque el profesor tenga la libertad de modificar e innovar en el contenido de los mismos. Estas dos interpretaciones son las más clásicas como se puedan leer en los libros de texto y sus causas
bien las expresan de Guzmán y Rubio.
2. Interpretaciones y notaciones
Generalmente, las dos interpretaciones que se utilizan para introducir el concepto de derivada son las de interpretación geométrica o pendiente de una recta tangente a una curva en un punto (Leibinz) y la de razónde cambio asociada a la velocidad instantánea de un móvil (Newton); pero a medida que se avanza en el curso de cálculo se llega a otras interpretaciones que se le pueden dar a la derivada, según sea el caso o
la necesidad que desde el punto de vista didáctico o profesional se desee explotar. En esta sección se hace referencia a estas dos interpretaciones y, en la siguiente, se reserva a interpretaciones económicas de la derivada. Por una parte, la interpretación geométrica se refiere a la pendiente de la recta tangente a la curva (función), f, en un punto del dominio de f; que simbólicamente se denota por f
la derivada de f en x0 ϵ Domf se define como:
Información adicional:
Además de las interpretaciones de la derivada expuestas arriba, existen muchas otras en diversos campos de las ciencias; tal es el caso de la biología y cuya utilidad se puede ver reflejada en el estudio del crecimiento de la población de un determinado ecosistema o como se ilustra en Cardús (1972), para estudiar tanto “la velocidad máxima del flujo de aire en el sistema respiratorio al toser, como la respuesta del organismo en función de la dosis de una droga”. Por otra parte, en la física, además de la velocidad instantánea se pueden conseguir interpretaciones como: Amplificación de una proyección entre rectas. La amplificación en x de una lente que proyecta el punto x de un recta sobre el punto f(x) de otra recta es la derivada de f en x.
Importante :
En este sentido, se pueden mencionar algunas interpretaciones de la derivada en las ciencias económicas como por ejemplo costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, productividad marginal y tasa de
impuesto marginal, y de esta manera enfatizar, desde el punto de vista didáctico, la importancia histórica que tiene el concepto de la derivada tanto en las matemáticas en sí mismas como en las ciencias económicas.
3.Análisis marginal
El análisis marginal es el nombre técnico con el que se conoce al cálculo diferencial dentro de las ciencias económicas. El desarrollo histórico de la economía matemática se puede dividir en tres periodos: marginalista (1838-1947), el de los modelos lineales y la teoría de conjuntos (1948- 1960) y el de integración (1961 hasta nuestros días)
Según (Lial y Hungerford, 2000), En el mundo de los negocios y en las ciencias económicas se llama análisis marginal a la utilización de la derivada o la diferencial para estimar el cambio que experimenta una función que modele una situación relacionada con la economía (ingreso, costo, utilidad, producción, etc.) al incrementar en una unidad la variable independiente .
Profundizando un poco más en conceptos económicos en los que la derivada está presente, se aprecia lo
importante que resulta para un profesional de las ciencias económicas tanto la derivada como las múltiples aplicaciones de ésta. Además de las funciones marginales de ingreso, costo, utilidad o producción, están
otras como la elasticidad de la demanda, la propensión al ahorro o al consumo en las que la derivada sirve de pieza fundamental para su análisis.
Por otro lado según Chiang y Wainwright (2006) sostienen que la economía matemática no es otra rama específica de la economía como los son las finanzas públicas o el comercio internacional. Por el contrario, la definen como un “método utilizado en el análisis económico, en el cual el economista emplea símbolos matemáticos para enunciar los problemas y se basa en teoremas matemáticos para auxiliarse en el razonamiento”
Originalmente, los economistas definieron el coste marginal a un nivel de producción x como C(x+1)-C(x), que es el coste de producir una unidad adicional de un producto.
La herramienta matemática básica fue el cálculo; en particular, el uso de las derivadas totales y parciales y los multiplicadores de Lagrange para caracterizar máximos. Vale la pena destacar que, en este periodo,
se desarrollaron los fundamentos matemáticos que sirvieron para que progresaran las teorías modernas del consumidor, del productor, de los mercados y del equilibrio general.
Ejemplo:
La función demanda y la función oferta en su forma más sencilla desde los puntos de vista económico y didáctico; es decir, la lineal. La importancia viene dada por la información que éstas proporcionan, si son vistas como simples rectas en el plano y se aprecia que las pendientes de estas rectas tienen un comportamiento muy particular y una interpretación económica clave, que posteriormente se pueden relacionar con la derivada de funciones más complejas que modelen de igual forma una demanda o una oferta.
4. La demanda:
Cuando se habla de demanda, se hace referencia no sólo a la cantidad de bienes o servicios que un consumidor o grupo de consumidores está dispuesto a comprar en un determinado mercado de una economía a un precio específico, sino también a la posibilidad presupuestaria de hacerlo.La demanda que un consumidor en general tiene de un determinado bien o servicio puede estar influenciada por un gran número de factores que determinarán la cantidad de bienes solicitados o demandados.
Considérese el siguiente ejemplo en el que se muestra una función de demanda del tipo lineal, en una economía hipotética y en el que la ley de la demanda1 se cumple. Supóngase que para un precio de $12 se demandan 50 unidades de un bien x y que para un precio de $2 se demandan 65 unidades del mismo bien x. Suponiendo, como se dijo antes, que la demanda es lineal y representando tal situación en el plano (q=cantidad, p=precio), se tiene que la función de demanda es la recta que pasa por los puntos (50,12) y
(65,2); es decir, D(p) = −3/2 p + 68
De esta función se deben dejar algunas cosas claras desde el punto de vista didáctico como por ejemplo el dominio DomD = [0 ; 68], ya que, como se dijo anteriormente, de acuerdo con un estudio realizado por el
productor, el precio no debe ser inferior a p=$1,5, mientras que para un precio p>68 $, se demandaría una cantidad negativa de bienes.Por otra parte, si se ve esta función como la ecuación de una recta, la pendiente es m = -3/2 < 0 y ésta es una característica de lasfunciones de demanda en el caso lineal Sin embargo,
si la función objeto de estudio es no lineal, es precisamente aquí donde es imprescindible el uso de la derivada en el análisis marginal, ya que la interpretación geométrica de la derivada en un punto de su dominio
permite identificar de manera local si realmente se está frente a una función de demanda (pendiente negativa). Si este proceso se repite para cada uno de los puntos del dominio entonces es posible llegar a un resultado global. Es decir, el análisis de esta pendiente determinará cómo y cuánto aumenta o disminuye la cantidad demandada ante una disminución o un aumento de precio.
Observación 1: Es conveniente aclarar que no todas las funciones de demanda, necesariamente, presentan una pendiente negativa. Tal es el caso de los bienes Giffen, los cuales satisfacen que si el precio de un bien
aumenta, la cantidad demandada por éste también aumenta (Nicholson, 1997). Sin embargo, por ser un caso poco usual por las características del bien, tal como lo refleja el autor antes citado, no se profundizará en este tema, pues no es la esencia del presente trabajo.
Observación 2: Como punto de información adicional conviene aclarar que aun cuando existen funciones lineales de demanda, estos son casomuy particulares como el modelo de mercado monopolístico.
5.La oferta :
Cuando se habla de oferta se hace referencia a la cantidad de bienes, productos o servicios que se ofrecen en un mercado competitiv bajo unas determinadas condiciones. El precio es una de las variables fundamentales que determina las cantidades ofrecidas de un determinado bien en el mercado y, al igual que la demanda, se pueden considerar constantes el resto de las variables.
Considérese ahora un ejemplo en el que se muestra una función de oferta del tipo lineal, en una economía hipotética. Si el precio del bien es alto, el productor tendrá incentivos a ofrecer una mayor cantidad del bien al mercado, pero si el precio baja, el productor disminuirá la cantidad ofrecida o se dedicará a la fabricación de otros bienes. En este sentido, supóngase que para un precio de $9 se ofrezcan 5 unidades de un bien x y que para un precio de $20 se ofrezcan 60 unidades del mismo bien, tomando en cuenta que el productor, lo máximo que puede fabricar es 75 unidades. Suponiendo, como ya se dijo, que la oferta es lineal y representando tal situación en el plano (q=cantidad, p=precio), se tiene que la función de oferta es la recta que pasa por los puntos (5,9) y (60,20); es decir, O(p) = 5p − 40
6.Introducción del concepto de derivada a través de un ejemplo no matemático
Como se mencionó previamente, en el cálculo existen situaciones propias del análisis marginal que deben ser aclaradas de abordar el concepto de derivada. Aunque algunos profesores de matemáticas se inclinen por tratar de aprovechar algunos conceptos propios de las carreras vinculadas a este trabajo, lo que se presenta a continuación es una manera “no clásica” de introducir este concepto.
A continuación, y a
partir de un hecho económico, se examinará el concepto de la derivada desde el punto de vista de la razón de cambio, además de su interpretación en una situación económica: Suponga que el fabricante de cierto bien descubre que a fin de producir x de estos bienes a la semana, el costo total en dólares está dado por C(x) = 200 + 0,03x2. Por ejemplo, si se producen 100 unidades a la semana, el costo está dado por C(100) = 200 + 0,03(100)2 = 500. El costo promedio por unidad al producir 100 unidades es 500/100=$5
Además del estudio planteado por los autores donde se calcula el costo de producir 100 artículos a la semana y el costo promedio de los 100 artículos, se puede plantear la siguiente pregunta: ¿cuesta lo mismo producir el artículo 99 que el artículo 100?, o de manera general, ¿cuánto cuesta producir cada unidad de x más allá de 100 unidades?Esta última pregunta se ve respondida de la siguiente manera:Si el fabricante considera cambiar la tasa de producción de 100 a 100
+ Δx unidades por semana, en donde Δx representa el incremento en
la producción semanal, el costo es
C + Δx = 200 + 0,03(100 + Δx)2
= 200 + 0,03(10.000 + 200Δx + (Δx)2)
= 500 + 6Δx + 0,03(Δx)2
Por consiguiente, el costo extra determinado por la producción de x
más allá de 100 unidades adicionales es
Δc = (C + Δx) − C
= 500 + 6Δx + 0,03(Δx)2 − 500
= 6Δx + 0,03(Δx)2
En consecuencia, el costo promedio de las unidades extras es
Δc
Δx = 6 + 0,03Δx
Definimos el costo marginal como el valor límite del costo promedio por unidades extra cuando este número de unidades extra tiende a cero. Así, podemos pensar en el costo marginal como el costo promedio por unidades extra cuando se efectúa un cambio muy pequeño en la cantidad producida
Costo Marginal = limΔx → 0 = limΔx → 0 6 + 0,03 Δx = 6
Δc
Δx
–– = 6 + 0,03Δx
Δ
En el caso de una función de costos general C(x) que represente el
costo de producir una cantidad x de cierto artículo, el costo marginal
se define en forma similar por
Es claro que el costo marginal no es otra cosa que la derivada de la
Otra manera de introducir el concepto de la derivada a través de un ejemplo relacionado con la economía consiste en partir de la función de ingreso; al mismo tiempo, también se conocerá otra interpretación de la derivada. En otras palabras, supóngase que una empresa obtiene unos ingresos por la venta de los bienes que ésta produce. Este ingreso está modelado por la función R(x) y representa el ingreso3 en una determinada unidad monetaria (um) por la venta de x bienes. definimos el ingreso marginal como la derivada R’(x).
7.Consideraciones didácticas adicionales
Los modelos lineales que se presentaron anteriormente están colocados con toda la intención, pues tienen un gran valor didáctico si se pretende enseñar el concepto de derivada y su interpretación en economía, ya que
se parte de un proceso en el cual el estudiante con conocimientos básicos de economía no debería tener mayores inconvenientes para abordar el tema. Ahora bien, aunque el motivo de esta investigación no es evaluar los textos de cálculo con aplicaciones a las ciencias económicas, es
preciso señalar que en algunos de éstos no se tratan situaciones como las siguientes:no toda recta con pendiente negativa (positiva) puede modelar una función de demanda (oferta); y, el dominio de las funciones debe tener un tratamiento especial por las restricciones que éstas puedan tener según la situación económica que las mismas representen o modelen, tal como fue explicado al final del apartado reservado al análisis marginal. Este tipo de situaciones tampoco aparece en los programas oficiales estudiados para este trabajo.
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| M<0,PERO NO ES FUNCION DE DEMANDA |
8.Una justificación de la derivada en la economía
Tal como se mencionó en el apartado anterior, los ejemplos antes señalados de demanda y oferta corresponden a casos lineales; pero no se plantea cómo abordaría el estudiante una situación en la que, dada una función no-lineal expresada de forma analítica, que se supone modela (bien la demanda o bien la oferta de un producto) se le pida determinar a cuál de estas dos situaciones económicas en concreto corresponde.
Pues bien, es éste uno de los casos donde comienza a tener valor didáctico la derivada en las ciencias económicas, ya que una manera de resolver el problema es por medio de la derivada; si se calcula la derivada de la función y se evalúa en un punto de su dominio, se obtendrá la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto.
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| OFERTA NO LINEAL DONDE LAS TRES PENDIENTES M>0 |
El uso de la derivada en el campo de la economía no sólo se limita al análisis de una función y su comportamiento según una ley, como es el caso de la demanda y la oferta, por ejemplo. En economía también se estudia la optimización de procesos modelados mediante una función matemática. Como referencia concreta a esta situación tenemos las maximizaciones de las ganancias del productor o del beneficio de la empresa, así como también las minimizaciones de los costos de producción, entre otros.
